بحيث ان فانه عندما x x 0 < δ لدينا فان

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "بحيث ان فانه عندما x x 0 < δ لدينا فان"

Τιτάνια Κεδίκογλου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 أمثلة. كل تطبيق ثابت بين فضائين متريين يكون مستمرا. التطبيق الذاتي من أي فضاء متري الى نفسه يكون مستمرا اذا كان f: R R البرهان. لتكن x 0 R و > 0 ε. f(x) = x 2 فان التطبيق f مستمرا. فانه عندما x x 0 < δ لدينا f(x) f(x 0 ) = x 2 x 0 2 x x 0 ( x + x 0 ). ( x x 0 ) < x x 0 1 لتكن = 1 δ سيكون لذا ان أي 0 x < 1 + x و بذلك سيكون f(x) f(x 0 ) x x 0 (1 + 2 x 0 ) ε = δ(1 + 2 x 0 ). f(x) f(x 0) < ε δ = min {1, ε و أالن عندما تكون } 0 x 1+2 فان f: (1, ) R 4. اذا كان f(x) = 1 x برهن ان التطبيق f مستمرا عند النقطة 2. البرهان. ليكن > 0 ε فان 1 f(x) f(2) = 1 x 1 x x = x 2

2 . f(x) f(2) < ε و االن عندما تكون {1 min{2ϵ, δ = فان 5. اذا كان f: R R 1, x > 0 f(x) = { 0, x = 0 1, x < 0 برهن ان الدالة غير مستمرة عند الصفر مستمرة عند لكنها اية نقطة غير الصفر. f(0) = 0 الفترة البرهان. ) 2 ( 1 2, 1 = V مجموعة مفتوحة تحتوي على بينما.0 f و بما ان {0} مجموعة مغلقة لذا ستكون غير مستمرة في f 1 (V) = {0} االن دعنا نبرهن ان f مستمرة في كل النقاط. x عندما > 0 x سيكون = f(x). 1 لتكن V مجموعة مفتوحة تحتوي على 1 فان (0, ), 1, 0 V f 1 [0, ), 1 V, 0 V (x) = { R\{0}, 1 V, 0 V R, 1 V, 0 V.f(U) V x في كل الحاالت أعاله توجد مجموعة مفتوحة U تحوي f: [a, b] R 6. لتكن 2 f(x) = { 1, x Q 2, x Q برهن ان f غير مستمرة في جميع نقاط منطلقها.

3 البرهان. اذا كان x 0 عددا نسبيا فتوجد متتابعة من االعداد غير النسبية n x تقترب الى f(x n ) = 2.x 0 في حين ان = 1 ) 0 f(x لذلك ) n f(x ليست متقاربة إلى ) 0.f(x و بهذا تكون f غير مستمرة في. x 0 و بنفس الطريقة يمكن ان نبرهن ان f غير مستمرة عند أي عدد غير نسبي x. 0 و بالتالي f غير مستمرة في جميع نقاط منطلقها. مبرهنة. لتكن كل من X, X, X فضاء متري. و ليكن f: X X و.g: X X اذا كان التطبيق f مستمرا عند x 0 X و كان التطبيق g مستمرا عند.x 0 X مستمرا عند g f فان التطبيق f(x 0 ) X البرهان. لتكن n x متقاربة الى.x 0 بما ان التطبيق f مستمرا عند.x 0 X فان ( n f(x متقاربة الى ) 0.f(x و بما ان التطبيق g مستمرا عند g f أي ان التطبيق.g(f(x 0 )) متقاربة الى g(f(x n )) فان f(x 0 ) X مستمرا على X. التطبيقات الحقيقية و الفضاء C(X) سنرمز لمجموعة التطبيقات المستمرة من الفضاء المتري X الى R بالرمز( C(X. التي تمثل مجموعة غير خالية الحتوائها على التطبيقات الثابتة. المبرهنة اآلتية تبين ان العمليات الجبرية االعتيادية تحافظ على االستمرارية. الى R مبرهنة. اذا كان كل من f و g تطبيقا مستمرا من الفضاء المتري X فان f g, f. g, f, f, cf, c R g 3 جميعها تطبيقات مستمرة. البرهان. لتكن n x متقاربة الى x. 0 X و بما ان التطبيق f مستمرا عند, x 0 فان ) n f(x متقاربة الى ) 0 f(x و ) n g(x متقاربة الى ) 0.g(x فان ) n f(x n )g(x متقاربة الى ) 0.f(x 0 )g(x نستنتج ان التطبيق f. g مستمرا عند النقطة x. 0

4 نتيجة. كل متعددة حدود :P. X R P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n تكون دالة مستمرة. التطبيقات الحقيقية المعرفة على فضاءات مرصوصة درسنا أهمية الفضاءات المرصوصة بالنسبة لنقاط التجمع. سندرس في هذا البند أهمية الفضاءات المرصوصة بالنسبة للتطبيقات المستمرة. تعريف. يقال عن :f X R انه مقيد اذا وجد > 0 M f(x) M x X قضية.. لتكن كل من,X X فضاء متري و ليكن :f X X تطبيقا مستمرا. اذا كان الفضاء X مرصوصا. فان المجموعة f(x) مجموعة مرصوصة أيضا. حيث f(x) = {f(x): x X} البرهان. ليكن Λ} {V λ, λ غطاء مفتوح ل f(x) في. X بما ان f تطبيقا مستمرا و المجموعة V λ مفتوحة في, X فان ) λ f 1 (V مجموعة مفتوحة في.X و بما ان f(x) λ Λ V λ فان ) λ.x λ Λ f 1 (V و بما ان X فضاء مرصوص فيوجد λ 1, λ 2, λ n Λ n X i=1 f 1 (V λi ) n f(x) i=1 V λi و هذا يؤدي الى ان أي ان f(x) مجموعة مرصوصة. f X نتيجة. لتكن f: X R تطبيقا مستمرا. اذا كان الفضاء مرصوصا فان مقيد. 4

5 البرهان. يترك للطالب. مالحظة. اذا كان :f X R تطبيقا مستمرا. و كان الفضاء X الضروري ان يكون التطبيق f مقيدا. غيرمرصوصا. فليس من.1 مثال. الدالة f(x) = 1, x (0, ) x n مستمرة لكنها غير مقيدة. في الواقع حسب مبرهنة ارخميدس لكل > 0 M يوجد.f(n) = 1 n > M يمكن ان يكون التطبيق مقيدا على الرغم من كون X غير مرصوص. f.2 مثال. (0,1) x.f(x) = 2x, حيث 2. f(x) االستمرارية المنتظمة Uniform Continuity تعريف. يقال ان التطبيق :f X X مستمرا بصورة منتظمة على X. إذا كان ε > 0 δ(ε) > 0: x, y X, d(x, y) < δ d (f(x), f(y)) < ε مالحظة. التطبيق المستمر بانتظام يكون مستمرا لكن العكس غير صحيح. f: R R مثال. لتكن بحيث أن f(x) = x 2 5

6 سنبرهن أن الدالة f غير لكل منتظمة االستمرارية.. 1 < δ n > 0 δ يوجد n N إذا كان y = n و x = n + 1 n لدينا x y = 1 n < δ و أن f(x) f(y) = (n + 1 n ) 2 n 2 = n n 2 n2 = (2 + 1 n 2) > 2 R في y و x يوجد > 0 δ فلكل = 2 εإذا كان x y < δ f(x) f(y) > ε لكن مثال. إذا كان f(x) = x 2, x (0, a], a > 0 منتظمة فان f االستمرارية. f(x) f(y) = x 2 y 2 = x y x + y x y ( x + y ) 2a x y 6

7 . δ = ε 2a نختار δ بحيث ε = 2aδ إن أي تمرين. إذا كانت لديك الدالة f(x) = 1 x, x (0, ) برهن أن f مستمرة لكنها غير منتظمة االستمرارية. ما هي التحويرات التي تجريها على منطلقها لتكون منتظمة االستمرارية. مبرهنة. ليكن X فضاءا متريا مرصوصا. إذا كان :f X R منتظم االستمرارية. تطبيقا مستمرا. فانه سيكون نتيجة. كل دالة مستمرة معرفة على فترة مغلقة تكون منتظمة االستمرارية. مبرهنة وايرشترايز. لتكن f: [a, b] R دالة مستمرة. لكل > 0 ε توجد متعددة حدود P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n بحيث أن f(x) P(x) < ε x [a, b]. k مبرهنة القيمة المتوسطة. لتكن f f(a) و f(b). فانه توجد c بين دالة مستمرة معرفة على الفترة [b,a].f(c) = k b و a تقع بين و لتكن مالحظة. كل دالة مستمرة تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة. لكن العكس غير صحيح فمثال الدالة 1 0 < x 1 x f(x) = 0 x = x < 0 { x f( 1) = 1 f(1) = 1 مستمرة على [1,1-] إال عند النقطة 0. الحظ ان و لكن ال f يوجد c بين 1 و 1- = 1.f(c) 2 من تطبيقات مبرهنة القيمة المتوسطة في الحياة. يقال عن نقطتين واقعتين على سطح األرض أنهما antipodal يمر من خالل مركز األرض. اذا كان الخط الواصل بينهما 7

8 الحقيقة اآلتية هي تطبيق لمبرهنة القيمة المتوسطة. على فرض ان الحرارة هي دالة مستمرة معرفة على سطح األرض. توجد نقطتين دائما antipodal على خط االستواء درجة الحرارة عندهما تكون متساوية. 8

Σχετικά έγγραφα

[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I و O B بالنسبة ل AC) ( IO) ( بالنسبة C و S M M 1 -أنشطة: ليكن ABCD معين مرآزه O و I و J منتصفي

[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I و O B بالنسبة ل AC) ( IO) ( بالنسبة C و S M M 1 -أنشطة: ليكن ABCD معين مرآزه O و I و J منتصفي O ( AB) تحيلات في المستى القدرات المنتظرة - التعرف على تقايس تشابه الا شكال استعمال الا زاحة التحاآي التماثل. - استعمال الا زاحة التحاآي التماثل في حل مساي ل هندسية. [ AD] التماثل المحري التماثل المرآزي